どうも、こうのすけです。
昨日は読書に重きを置いて活動しました。
ただ読書だけではﾔｯﾍﾞｯｿﾞと思い、東大数学の過去問に1問だけ挑戦しました。
本当に少しですが最近やっていなかった数学に触れることができて良かったです。
今回挑戦したのは2020年の東大数学（理系）の第3問です。
見た感じ、数Ⅲ好きの僕からすると馴染みやすそうな問題です。
それではやっていこう。
（※この記事は数学のレベルがそこまで高くない僕の東大受験に対する感想です。決して解説記事ではないのでご注意ください。東大数学の過去問をチラチラみているだけの凡人による感想です。まあ気楽に見てやってください。）
ちなみに問題と解答はこちらのホームページにあります。
2020年 第3問 解いてみた。
今回の問題はこちらです。
微積が絡む、ガッツリ数Ⅲの問題ですね。
僕は数学の中では、数Ⅲが1番得意なので今回は少しでも理解したいです。
久々の高校数学であり、また今は過去問のチラ見程度なので、分からなかった問題はすぐに諦めています。
とにかく10年分を早い段階で一目通しておきたいので、解けるようになることにまだ拘りません。
「へ〜、こんな問題が出るのか。」程度に留めて、どんどん次に進んでいます。
まあ、１周目ですから、このくらい気楽にやらないとすぐ挫折するしね。
１周目は雰囲気をしれれば良いんよ。
、、、と、言いつつも。
今回の問題を見たときに
「なんだか太刀打ちできる気がする。」
という謎の自信が芽生えてしまったので、手を動かして解くことに。
ここからは設問ごとにみていこうと思います。
設問⑴ この式変形は一般的？
まずは、関数の単調減少の証明です。
これは素直に色変形をしていったのですが。
ま、とりあえず僕の色変形をご覧あれ。
縦長の画像で申し訳ないです。
単調減少を言いたいのに、tの範囲内でどっちも正か。
けどtを増加させるごとに、正ではあっても分母に対して分子は確かに小さくなる。これで証明できたことになるのだろうか？
どのように記述すれば良いか迷いました。
ちなみに模範解答の色変形はこうでした。
なるほど、、、。
確かにこのように式変形すれば、tが増えるとこの関数が減少することが一目でわかるな。
下の青線の式変形は、「これなら思いつくけど。」ってやつ。
けど、分母と分子にtがあってかなり煩わしいですね。
このような模範解答のような式変形は一般的なのでしょうか。
「tをできるだけ消したい！」という気持ちから行った自然な式変形なのだろうか。
初っ端から、正解に至らず。
設問⑵ ただの計算
ここはなんと正解することができました。
ちゃんと微分のやり方を覚えていて良かったです。笑
僕のレベルでも正解できるので、絶対に落とせない問題ですね。
増減表もしっかり書けました。
この時点で、⑴で出てきた関数は関数f(t)の傾きだということに気づきました。
最大値を求めさせられた事を考えると、、、なるほど。だんだん問題が見えてきましたよ。
設問⑶ 途中で断念したが、、、。
⑵が解けたことで、調子に乗りましたが⑶は途中で断念。
回転の方向をよく分からないけど、三次元方向に展開していたので意味わからなくなって死にました。
中学で習う単純な回転移動なのに。笑
解答をみると、案外すんなり理解できました。
回転させる際は、そのf(t)の最大値の部分に注目するのがなんだか懐かしいです。
図さえ書ければ、なんとか解けそうです。
一見難しそうですが、図自体はtに色々な値をぶち込めば大まかに書けますね。
ただ回転した時に、通過する領域は、書くのが慣れていないと難しそう。
最後に通過領域の面積を求める時には、いかに楽に計算するかも重要になってきます。
（奇関数だから面積0とか。合同な図形を探すとか。）
この辺りの発想は、身につけておきたいです。
まとめ
前回の問1、2よりは解きやすい印象でした。
問3はおそらく完答できないといけないレベルに思います。
こういった標準問題を確実に取れるように練習したいです。
2020年はまだ半分残っているので地道にやっていきます。（チラ見する程度でしょうけど。）
まだまだ傾向や、どういった分野を何を意識して勉強すれば良いかの方針は見えてきませんね。
１年分も終わってないから当然よね。笑
とりあえず10年分みて、何か掴めれば良いな。
少しずつでも、前に進もう。
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